本篇文章的中文標題應該是：「估計長期投資年複合報酬率的數學方程式」，因為這十幾個字實在太累贅了，葛八不得已只好簡化成「報酬方程式」，讓標題言簡意賅點。如果你看到這個方程式的第一點是有點嚇到、想關機，那千萬不要，因為看懂這個方程式對理解「長期投資」、「compound growth 複合成長」、市場的「multiple expansion 估價倍數」乃至整體報酬率的影響很重要，這個數學方程式幫助葛八了解長期投資的概念助益匪淺，葛八非常想要分享給你。
這個公式的導法及來源來自這篇不知名作者的文章，原先作者的公式是如圖左
，考量一般人對除法較難以親近的認知，葛八改成了下圖以乘式為主的公式，這樣較易於了解。其中的 T 代表投資持有總年數；M 是 multiple，M1 是指投資當年的本益比，M2 是賣出時的本益比；r 是 reinvestment percentage 再投資比率1；g 是複合成長率，也就等於 r×ROE。為了便於解說，葛八在圖中的公式中，用藍色字體代表公式主體，用綠色字體部分來說明 compound growth 複合成長 r×ROE；用紅色字體來說明市場 multiple expansion 對投資報酬率的影響。
這樣的公式怎麼使用呢？（以下案例僅為教學示範，並不是投資建議，請見葛八的免責聲明）：
示範案例一：
台灣 5871 中租-KY這家公司，過去五年的平均 r (reinvestment percentage 再投資比率）大約是 58%，平均 ROE 大約是 16.5，目前的本益比 (2025/09) 大概是 9。因為投資是投資未來，假設你現在投資 5871 這家公司，預計持有 15 年，就你對中租的了解，你認為未來 15 年的平均 r 和 ROE 、本益比會跟現在差不多，也就是當 15 年後你會實現獲利。那麼套入公式，大概這 15 年你的投資年複合報酬率是：(1+0.6×16.5)× (10/10)^(1/15)-1= 10%（數字均經過四捨五入），以這樣的年複合報酬率大約你投入的資金 15 年後會穩穩的成長到 4.2 倍（未計入股息和配股）。
示範案例二：
CPRT 是一家在美國 NASDAQ 上市的公司，它的主營業務是「經手報廢車的回收、買賣」。CPRT 過去十年的平均 r (reinvestment percentage 再投資比率）大約是 87%（從來不發放股息、偶爾進行股票回購），過去 10 年平均 ROE 大約 22%，目前 (2025/09) 的本益比大約是 28 倍。假設你現在開始投資 CPRT，預計持有 15 年。你預計未來 15 年 CPRT 的平均 r 和 ROE 跟現在差不多，但是第 15 年你準備 cash out 賣出時，本益比會微調上升到 30 倍（畢竟能夠長期維持 ROE 20% 的公司並不多）。套入公式，大概這 15 年你的投資年複合報酬率是：(1+0.87×0.22)×(30/22)^(1/15)-1= 1.2 ×1.02-1= 21.5%，以這樣的年複合報酬率大約你投入的資金 15 年後會穩穩的成長到 19 倍（未計入股票回購）（這顯示出長期投資在具有持久競爭優勢公司的威力）。
當然每個投資人對公司的了解不同，對未來的預期數據自然不同，經過計算的結果也會不同。
好，了解公式的粗略用法後，葛八要來一項項拆解長期投資收益最大化的祕密武器，以及你要怎麼思考它。
T= year, M= multiple, M1= purchase multiple, M2= multiple when selling, g= growth, r= reinvestment percentage
CAGR Compound Annual Growth Rate 年複合成長率
以投資來說，年複合成長率也可以稱為「年化投資報酬率」，如果你已知道對任何一項投資的終值（也就是賣出後總值），假設中間沒有再投入新的資金，那麼你的年化投資報酬率就很容易計算（感謝 Andy Lin）。那「 Andy Lin 的 IRR 公式」跟葛八這篇文章介紹的「The Mathematics of Returns 長期投資年複合報酬率的數學方程式」又有什麼關係？感覺越來越混亂了？！
如果搞不清楚，就回來看大家都知道的銀行存款的案例，台灣的活期存款是用來思考「複利」很方便的的類比，那篇文章的案例中，我們假設了一個年利率 15% 的活期存款，且每年配出一半的利息，剩下的一半利息歸回本金中繼續利滾利。葛八喜歡「利滾利」（或是「錢滾錢」）這類的名詞，因為這代表了「複利」。
葛八列出的「估計長期投資的年複合報酬率的數學方程式」，藍色字體部分是這個方程式的主結構，這個主結構怎麼導出來，葛八已經建議各位去看原作者的說明了，而這個方程式在等號的右邊包含了兩個部分，分別是綠色字體代表了公司（或是任何投資）幫你複利的速度，以及紅色字體部分代表了市場價格對投資報酬率的影響，這兩部分是用一個相乘符號連結，代表兩項因素都影響你的成績單。
接下來，讓葛八分開說明。
綠色字體 r\times ROE
有一種投資，不會受到市場價格的干擾，很適合說明 r×ROE，那就是葛八所舉的「特殊的銀行存款」的例子。大部分的銀行活期存款，是可以讓你「所有的利息」都可以用來「利滾利」的，葛八所舉的案例是以規定只有「部分利息可以再投資」的特例，就是模擬大多數的公開市場的公司，很少是 100% 保留盈餘的，或多或少都會以股票回購或是現金股利的模式回饋股東，只是保留的比例不同罷了。
這也是葛八在「什麼代表公司的成長率？」文章中主要想要表達的重點：r×ROE 代表公司成長率，也代表了公司幫你複利的速度，而配息出來的部分，也屬於你的收益，但是這部份就沒有參與複利的機制了。
銀行存款的案例就是幫你了解這部份，我們再回來看一下這個特殊銀行存款的案例：
在這個案例中，你有兩部分的收益，一部分是配息出來的部分，這部份隨著配息相對於原始投資的比例越來越高（第一年股息殖利率是7.5%，第二年提高為 8.1%，到了第六年的股息到達 10.8%），你可以了解到配息出來的部分，雖然配出的股息沒有辦法以 15% 的利率來複利長大，但也還可以接受。第二部分的收益就是沒有配出的淨利，這部份是以 15 % 年複合報酬率的速度長大。
綜合上述兩者，你到了第六年的年複合報酬率大約是 12%（藍色儲存格數字）。也許你會覺得 12% 也不錯啊？！但是你要知道如果你的公司完全不配息，百分百保留來複利（極端的案例），你的年複合報酬率是 15%。
換句話說，假設市場價格比不變動，當 r= 100%，長期投資一家公司的投資複合報酬率大致上就等於公司的 ROE。
而 12% 和 15% 複利的差別是：
投資 1 萬元，以 12% 複利 15 年，結果是 54,736 元。
投資 1 萬元，以 15% 複利 15 年，結果會是 81,370 元。
這也是葛八不喜歡發股息的原因，希望公司發揮全力幫我複利。很多人雖然了解發出的股利是「昂貴的奢侈品 (an expensive luxury)」2、發出的股利沒有複利的功能（股息是單利），但是因為擔心「公司賺的錢不是錢、發出來拿在手上的錢才是錢」，所以寧願放棄複利，選擇單利。
但是葛八卻相信：經過精心挑選的好公司，賺的每一分錢都是實實在在的錢，寧願讓它複利，也不要選擇單利。
紅色字體 \sqrt[T]{M2/M1}
第二部分我們要討論的部份是「市場估價倍數對投資報酬率的影響」，也就是公式中紅色字體的部份。
長期投資減輕估價倍數萎縮的影響
大多數人的都有：聽到別人說是好公司後、認出這是好公司的能力，也就是葛八在投資人接收的 3 種資訊等級這篇文章中所說的 Level 0 投資。當然有些投資人可以發現一些 Level 1 投資，也就是股價還沒有起飛之前，業績已經開始顯示潛力的公司，但是在這個人云亦云的時代，Level 1 投資是極少見的，更遑論有機會成為百倍股的 Level 2 投資。
要知道，大家都耳熟能詳、朗朗上口的好公司，唯一的缺點是價格很難被低估。這種公司的本益比，長期持有的話，大概率向下的機會會遠大於往上提高的機會。
所以葛八假設一個極端的狀況：期初投資的本益比是 40 倍，期末獲利了解時本益比下降到 10 倍，我們來套入文中公式紅色字體的部份：
投資期 3 年：（10/40)^(1/3)= 0.63, 代表我們前一段所說的複利機制要再被打 63 折。
投資期 15 年：(10/40)^(1/15)= 0.91,代表我們前一段所說的複利機制只被打了 91 折。
代表投資期拉長到 15 年，即便投資初期買到相對高價（相對於盈餘，本益比萎縮 4 倍）的錯誤決策，你所受到的「估價倍數降低」對年化報酬率的影響會大大的被鈍化。事實上，如果你願意把投資期拉更長，這樣的公式對你的錯誤更寬容。
| PE 本益比縮小 4 倍 | 3 年 | 10 年 | 15 年 | 30 年 | 100 年 |
|---|---|---|---|---|---|
| M1: M2= 40: 10 | 0.63 | 0.87 | 0.91 | 0.96 | 0.99 |
當然葛八看不出來投資 100 年這種「為子孫而投資」的意義是什麼，即便它幾乎可以弭平市場價格對你年化報酬率的影響。你們可以套用不同的「市場估價倍數」、「投資年期」來得到不同的數據。
當然，你也可以試試「投資倍數放大 4 倍」這樣的假設。
投資期 3 年：（40/10)^(1/3)= 1.59, 代表我們前一段所說的複利機制可以放大 1.6 倍。
投資期 15 年：(40/10)^(1/15)= 1.1, 代表我們前一段所說的複利機制只被放大 1.1 倍。
| PE 本益比放大 4 倍 | 3 年 | 10 年 | 15 年 | 30 年 | 100 年 |
|---|---|---|---|---|---|
| M1: M2= 10: 40 | 1.6 倍 | 1.15 倍 | 1.1 倍 | 1.05 倍 | 1.01 倍 |
你可以看到，長期投資也沖淡了「市場本益比放大」對年複合報酬率效果的助力（時間是公平的）。
從公式來思考「最大化年複合投資報酬率」的策略
葛八曾經在達成百倍投資的兩種策略方案提到兩種達到 10- 100 倍股的方案：
每 3 年達成 26% 的報酬率，連續 7 次
第一種是每三年換一次股，設法將這 3 年內的投資報酬率最大化，連續 7 次。這 3 年內，如果你可以使用最大的 r 再投資百分比、最大的 ROE（最大化你的 compound growth 複利成長，公式圖中綠色部分），而你的估價倍數（比如說本益比放大 4 倍）會對「compound growth 複利成長」有放大 1.6 倍的效果（multiple expansion 估價倍數放大，圖中紅色部分）。
這樣的作法，相當困難。本益比放大本來就不容易，還要連續找到七次本益比在 3 年內都放大的公司更難。這種作法的優點是因為估價放大的效應較大，公司的 r× ROE 可以相對的輕鬆點。
買進一家 26% 報酬率的公司，持有 20 年
第二種方法是只投資一家公司，從公司默默無名開始投資，過程中參與公司的複利成長（最大的「 r 再投資百分比」，這時 ROE 也逐漸開始提高，最大化你的 compound growth 複利成長，公式圖中綠色部分），這過程中，你的 multiple expansion 估價倍數也在 20 年內逐步放大（公式圖中紅色部分，例如文中舉例本益比擴張 4 倍，雖然說拉長投資期到 20 年，沖淡了這個放大的效果，但至少是放大，不是縮小）。
這個方法對公司的品質要求較高，需要較高的 r×ROE，且需要你找到尚未被廣泛關注（本益比尚低）的公司。
Christopher Mayer 的 twin engines 雙引擎效應
在 Christopher Mayer 的尋找百倍股書中提到一個名詞： twin engines 雙引擎3效應，這個名詞很容易的可以由葛八本篇文章所分享給你的公式來理解。
想要收穫多、百倍股，你必須有最大的 「compound growth 複利成長」，也要取得最大的「multiple expansion 估價倍數」。想要達成這兩項，你要找到相對小的公司（複利成長機會大），擁有未來的、潛在的競爭優勢且別人看不懂的公司（同時享受本益比放大的優勢）。
想想看，這樣的公司不會是現在的 TSLA 特斯拉， 10 年前的 TSLA 會是；不會是現在的 AMZN 亞馬遜，20 年前的 AMZN 會是，不會是現在的 BRK.A 波克夏·海瑟威，30 年前的 BRK.A 會是。
如果你只會投資現在大家耳熟能詳的公司，你可能會賺錢，甚至可能賺幾倍的投資收益，但幾乎沒有機會收穫百倍股！
好了，最後葛八想要請你再看一次公式：
T= year, M= multiple, M1= purchase multiple, M2= sold multiple, g= growth, r= reinvestment percentage
投資人要拉高年複合投資報酬率需要的是：最大的「 r 再投資比例」、最高的「ROE 報酬率」（綠色部分）、最長的「 T 複利時間」及需要擁有相對於「買進本益比」的最大「賣出本益比」（紅色部分），就像公式中告訴你的那樣！
（本篇完）
- Reinvestment percentage 有些作者會用 reinvestment rate 來說明，但因為常常跟 reinvestment rate (of return) 相混淆，所以葛八使用 reinvestment percentage，而中文翻譯是再投資比率。計算再投資比率，只要計算一段期間內的保留盈餘差額除以該期間的淨利和，就代表這段期間公司總共賺了多少錢，其中有多少保留在公司的比率。以複利成長來說，r 值越大，好公司幫我們複利的能力越強。 [↩]
- 原文是：Dividends are expensive luxury.，出自 Thomas Phelp 的書「100 to 1 in the stock market」。[↩]
- Twin 雙引擎代表的是兩部分的共同效果，第一部分是盈餘成長 earning growth（公式圖中綠色部分），第二引擎是估價倍數放大（公式圖中紅色部分）。Christopher Mayer 在該書的中文版的第 56, 68, 71, 264 頁都提到這個效應：最大化你的投資收益，才有機會收穫百倍股。[↩]
Footnote 註釋：
