本篇文章的中文標題應該是：「估計長期投資的年複合報酬率的數學方程式」，因為這十幾個字實在太累贅了，葛八不得已只好簡化成「報酬方程式」，讓標題言簡意賅點。如果你看到這個方程式的第一點是有點嚇到、想關機，那千萬不要，因為看懂這個方程式對理解「長期投資」、「compound growth 複合成長」、市場的「multiple expansion 估值倍數」乃至整體報酬率的影響很重要，這個數學方程式幫助葛八了解長期投資的概念助益匪淺，葛八非常想要分享給你。
這個公式的導法及來源來自這篇不知名作者的文章，原先作者的公式是如圖左
，考量一般人對除法較難以親近的認知，葛八改成了下圖以乘式為主的公式，這樣也較容易了解。其中的 T 代表投資持有總年數；M 是 multiple，M1 是指投資當年的本益比，M2 是賣出時的本益比；r 是 reinvestment percentage 再投資比率1；g 是複合成長率，也就等於 r×ROE。為了便於解說，葛八在圖中的公式中，用藍色字體代表公式主體，用綠色字體部分來說明 compound growth 複合成長 r×ROE；用紅色字體來說明市場 multiple expansion 對投資報酬率的影響。
這樣的公式怎麼使用呢？（以下案例僅為教學示範，並不是投資建議，請見葛八的免責聲明）：
示範案例一：
台灣 5871 中租-KY這家公司，過去五年的平均 r (reinvestment percentage 再投資比率）大約是 58%，平均 ROE 大約是 16.5，目前的本益比 (2025/09) 大概是 9。因為投資是投資未來，假設你現在投資 5871 這家公司，預計持有 15 年，就你對中租的了解，你認為未來 15 年的平均 r 和 ROE 、本益比會跟現在差不多，也就是當 15 年後你會實現獲利。那麼套入公式，大概這 15 年你的投資年複合報酬率是：(1+0.6×16.5)× (10/10)^(1/15)-1= 10%（數字均經過四捨五入），以這樣的年複合報酬率大約你投入的資金 15 年後會穩穩的成長到 4.2 倍（未計入股息和配股）。
示範案例二：
CPRT 是一家在美國 NASDAQ 上市的公司，它的主營業務是「經手報廢車的回收、買賣」。CPRT 過去十年的平均 r (reinvestment percentage 再投資比率）大約是 87%（從來不發放股息、偶爾進行股票回購），過去 10 年平均 ROE 大約 22%，目前 (2025/09) 的本益比大約是 28 倍。假設你現在開始投資 CPRT，預計持有 15 年。你預計未來 15 年 CPRT 的平均 r 和 ROE 跟現在差不多，但是第 15 年你準備 cash out 賣出時，本益比會微調上升到 30 倍（畢竟能夠長期維持 ROE 20% 的公司並不多）。套入公式，大概這 15 年你的投資年複合報酬率是：(1+0.87×0.22)×(30/22)^(1/15)-1= 1.2 ×1.02-1= 21.5%，以這樣的年複合報酬率大約你投入的資金 15 年後會穩穩的成長到 19 倍（未計入股票回購）（這顯示出長期投資在具有持久競爭優勢公司的威力）。
當然每個投資人對公司的了解不同，對未來的預期數據自然不同，經過計算的結果也會不同。
好，了解公式的粗略用法後，葛八要來一項項拆解長期投資收益最大化的祕密武器，以及你要怎麼思考它。
T= year, M= multiple, M1= purchase multiple, M2= multiple when selling, g= growth, r= reinvestment percentage
CAGR Compound Annual Growth Rate 年複合成長率
以投資來說，年複合成長率也可以稱為「年化投資報酬率」，如果你已知道對任何一項投資的終值（也就是賣出後總值），假設中間沒有再投入新的資金，那麼你的年化投資報酬率就很容易計算（感謝 Andy Lin）。那「 Andy Lin 的 IRR 公式」跟葛八這篇文章介紹的「The Mathematics of Returns 長期投資年複合報酬率的數學方程式」又有什麼關係？感覺越來越混亂了？！
如果搞不清楚，就回來看大家都知道的銀行存款的案例，台灣的活期存款是用來思考「複利」很方便的的類比，那篇文章的案例中，我們假設了一個年利率 15% 的活期存款，且每年配出一半的利息，剩下的一半利息歸回本金中繼續利滾利。
綠色字體 r\times ROE
紅色字體 \sqrt[T]{M2/M1}
（撰寫中，未完成…）
Footnote 註釋：
- Reinvestment percentage 有些作者會用 reinvestment rate 來說明，但因為常常跟 reinvestment rate (of return) 相混淆，所以葛八使用 reinvestment percentage，而中文翻譯是再投資比率。計算再投資比率，只要計算一段期間內的保留盈餘差額除以該期間的淨利和，就代表這段期間公司總共賺了多少錢，其中有多少保留在公司的比率。以複利成長來說，r 值越大，好公司幫我們複利的能力越強。 [↩]
